一般相対性理論による加速度の分析

準備段階として, 特殊相対性理論について解説していきます。 ガリレイ変換から開始し, 光速不変の原理からローレンツ変換などを 手短に説明していきます。

• マクスウェルの方程式はガリレイ変換のもとで相対的でない。
• マイケルソン・モーレーの実験では, 光速に (ガリレイ変換に基づく) 速度加法則が成立しない。
• 光速不変の原理を要請すると, 観測者ごとに時間や長さの尺度が異なる。

慣性系から見た世界は特殊相対性理論にしたがいます。 速度合成則や加速度変換則にしたがい, 関係からみた加速度運動する 物体を分析していきます。

• 加速を続けても光速を超えることはできない。
• 光の周波数はドップラ効果を示し, 側方から到来する光は時計の遅れによって 周波数が低くなる。
• 加速度 9.8m/s² で等加速度運動する物体の1光年背後から 追いかける光は物体に追いつくことができない。
• 運動する物体の固有時間とは, 物体とともに運動する時計の読みに相当する。

本章では, 加速度運動する観測者から見た世界を分析する。 一般相対性理論を導入する代わりに, 前章で導入した固有時間を 加速度運動する観測者の時計である見地から, 特殊相対性理論のみで 加速度運動する観測者が見るであろう世界を分析する。

• 加速度運動する観測者の時計は, 加速とともに急激に遅れていく
• 加速度5m/s²で運動を持続すると, 20年で100万光年の距離まで到達する。
• 加速度運動する観測者が見る世界は, 背後に事象の地平面があり, その面を物体は通過できない。

加速度運動する観測者の世界を記述するため, 一般相対性理論を導入します。 本章では, 準備段階として一般相対性理論の一般的な説明をします。

• 等価原理に基づく思考実験によると, 重力場で光の軌跡は曲がる。
• 重力場はアインシュタインの重力場の方程式にしたがう。
• 重力場の方程式の解として, 光でさえ吸い込むブラックホールの存在が 予言される。
• シュワルツシルトブラックホールでは, シュワルツシルトの距離が 事象の地平面となる。前章の事象の地平面と同様の性質をもつ。
• 重力場にいる観測者の時計は遅れる。

一般相対性理論を用いて, 等加速度運動する観測者の時空を分析します。 手順として, アインシュタインの重力場の方程式を解き, 時空の計量テンソルを明らかにし, それを足掛かりに物理現象をひも解いていきます。

• 重力場の方程式の解として, 加速度運動する観測者の計量テンソルが 特定できる。
• 加速度場では場所によって拘束が異なり, 光は円軌道を描く。 質量をもつ一般の物体は楕円軌道を描く。
• 加速度場を落下する自由粒子の位置は, 時間とともに双曲線関数で 記述できる。
• 双子のパラドックスが解決。宇宙船から見ると, Uターンする瞬間に 地球の時計が一気に進む。
• 加速度場の時空は, リンドラー座標系で表現できる。

前章での結果を利用して, 1500光年だけ隔てたオリオン星雲までの 恒星間航行を計算します。両端の300光年ずつを等加速度で加速と 減速にあて, 残り900光年を等速度運動で巡行する前提で計算していきます。 加速度は 5m/s²で計算します。

• 地球から見ると1503.8年でオリオン星雲まで到達。宇宙船の時計では 27.6年しか経過していない。
• 宇宙船から見ると, 加速時はオリオン星雲の時計が速く進む。 減速時は地球の時計が速く進む。
• 等速度の巡航中は, 特殊相対性理論にしたがい, 宇宙船から見ると, 地球とオリオン星雲の時計はともにゆっくり進む。
• 移動中の宇宙船から見ると, 地球とオリオン星雲の時計は異なる 値を示すが, オリオン星雲で静止すると両者の読みは等しくなっている。

計算上, 加速度場で急激に減速 (または加速) すると, 時間の逆行現象が 発生する。時間の逆行は因果律を破綻させる現象である。しかし, この逆行現象は 単に計算過程で導かれる現象であり, 観測されない。観測されなければ 発生していないことと同じである。その結果, 残念なことに, 加速度運動する 観測者が観測する世界は, 特殊相対性理論の範疇でも計算できるという 結論にたどり着く。

• 急停止による時間逆行の発生。
• 計算上の時間逆行であっても, それを観測しなければ発生して いないことと同じ。
• 異なる点から等間隔で送られてくる時刻情報を受信したとき, 時間逆行は観測されるか?
• 観測される時刻情報に時間逆行は観測されない。 むしろ, 特殊相対性理論におけるドップラ効果で時刻情報が到達する。 そこに加速度場における依存性は含まれない。
• 観測までを考えると, 加速度運動する観測者が観測する物理現象は 特殊相対性理論の範疇で計算できる。